弹性力学三大方程
为了由弹性力学问题中的已知量求出未知量，必须建立这些已知量与未知量之间的关系，以及各个未知量之间的关系，从而导出一套求解的方程。在导出方程时，可以从三个方面来进行分析。一方面是静力学方面，由此建立应力、体力、面力之间的关系。另一方面是几何学方面，由此建立形变、位移和边界位移之间的关系。再一个是物理学方面，由此建立形变与应力之间的关系。
平衡方程
在 P 点附近取出一个微小的正平行六面体PACB，它在 x 和 y 方向的尺寸分为为 dx 和 dy，在 z 方向的尺寸为单位长度 1，此正平行六面体又称微元体，进行应力分析，如下图所示。
图1 微元体应力示意图
一般而论，应力分量是位置坐标 x 和 y 的函数，因此作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。为了简化起见，对 AC，BC 的应力用泰勒展开式展开，然后省略二阶无穷小，可得如上图所示的各个应力的大小（或者利用微分可直接计算得到）。
然后列出力矩平衡方程和受力分析。
先是力矩平衡：
\[
{\tau}_{xy} + \frac{1}{2} \frac{\partial {\tau}_{xy}}{\partial x} dx = {\tau}_{yx} + \frac{1}{2} \frac{\partial {\tau}_{yx}}{\partial y} dy
\]
由力矩平衡方程可得剪应力互等定理，即：
\[
{\tau}_{xy} = {\tau}_{yx}
\]
根据受力分析，X 方向受力平衡，则：
\[
(\sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dx)dy \times 1 - \sigma_xdy \times 1 + (\tau_{yx}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}dy)dx \times 1 - \tau_{yx}dx \times 1 + X dx \times dy \times 1 = 0
\]
化简得：
\[
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + X = 0
\]
Y 方向同理可得：
\[
\frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + Y = 0
\]
所以至此我们就建立了平面问题的平衡微分方程：
\[
\begin{cases}
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + X = 0 \\
\frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + Y = 0
\end{cases}
\]
平衡方程中不含 E、μ，所以方程与材料性质无关，而且整个弹性体内都满足，包括边界。
几何方程
在平面问题中，讨论几何方程也就是讨论应变与位移的关系。
首先考察 P 点邻域内线段的变形：
\[
P \longrightarrow P' \begin{cases} u \\ v \end{cases}
\]
\[
A \longrightarrow A' \begin{cases} u + \frac{\partial u}{\partial x}dx \\ v + \frac{\partial v}{\partial x}dx \end{cases}
\]
\[
B \longrightarrow B' \begin{cases} u + \frac{\partial u}{\partial y}dy \\ v + \frac{\partial v}{\partial y}dy \end{cases}
\]
当然以上几个式子都用了泰勒展开，忽略了二次以上的高阶项。又有 \(PA = dx\)，\(PB = dy\)。
在推导公式之前，有必要解释几个概念，正应变，剪应变。何谓正应变，就我的理解，就是相对伸长与原长的比值。剪应变，就是某点两直角线段夹角的变化。
\[
\varepsilon_x = \frac{u + \frac{\partial u}{\partial x} dx - u}{dx} = \frac{\partial u}{\partial x}
\]
\[
\varepsilon_y = \frac{v + \frac{\partial v}{\partial y} dy - v}{dy} = \frac{\partial v}{\partial y}
\]
所以正应变的表达式就是如上所示，至于剪应变，同样可得，只是表达式略微复杂一点。
\[
\gamma_{xy} = \alpha + \beta
\]
\[
\tan \alpha = \frac{v + \frac{\partial v}{\partial x} dx - v}{dx} = \frac{\partial v}{\partial x} \approx \alpha
\]
\[
\tan \beta = \frac{u + \frac{\partial u}{\partial y} dy - u}{dy} = \frac{\partial u}{\partial y} \approx \beta
\]
\[
\gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}
\]
最后整理一下，我们就得到了平面应力问题的几何方程：
\[
\begin{cases}
\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} \\
\varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y} \\
\gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}
\end{cases}
\]
物理方程
物理方程是根据胡克定律，没错，就是你高中时学过的发现弹簧的弹力 f 和弹簧的长度变化量 x 成正比的那个人。当然我们用到的是广义胡克定律，就是根据胡克定律和泊松比得出来的，推导的话就不写了，随便找本材料力学的书都会有写。
\[
\begin{cases}
\varepsilon_x = \frac{1}{E}[\sigma_x - \mu (\sigma_y + \sigma_z)] \\
\varepsilon_y = \frac{1}{E}[\sigma_y - \mu (\sigma_z + \sigma_x)] \\
\varepsilon_z = \frac{1}{E}[\sigma_z - \mu (\sigma_x + \sigma_y)]
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
\varepsilon_x = \frac{1}{E}(\sigma_x - \mu \sigma_y) \\
\varepsilon_y = \frac{1}{E}(\sigma_y - \mu \sigma_x)
\end{cases}
\]
以上的是三维的物理方程，二维的话只需要三项：
\[
\begin{cases}
\gamma_{yz} = \frac{1}{G} \tau_{yz} \\
\gamma_{zx} = \frac{1}{G} \tau_{zx} \\
\gamma_{xy} = \frac{1}{G} \tau_{xy} \\
\end{cases}
\]
\[
\gamma_{xy} = \frac{2(1+\mu)}{E} \tau_{xy}
\]
综上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。因此，可联立这些方程求解未知量。
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